বুলিয়ান বীজগণিত ডিজিটাল সার্কিট বিশ্লেষণ ও সরল করতে ব্যবহৃত হয়। বুলিয়ান বীজগনিতে শুধুমাত্র বাইনারি সংখ্যা ব্যবহৃত হয় অর্থাৎ, ০ এবং ১ ব্যবহার করা হয়। ১৮৫৪ সালে জর্জ বুল (George Boole) বুলিয়ান বীজগনিত প্রবর্তণ করেন। ডিজিটাল সার্কিটে বিদ্যুতের উপস্থিতি এবং অনুস্থিতি ০ এবং ১ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

• ০ – ০.৮ (V) = ০
• ২ – ৫ (V) = ১

০ এবং ১ এর মাঝামাঝি কোন মান ধারণ করে না।

বুলিয়ান অপারেশন

বুলিয়ান বীজগনিতে যোগ ও গুনের ক্ষেত্রে কিছু নিয়ম মেনে চলে। এই নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতসিদ্ধ বলে।

বুলিয়ান মৌলিক অপারেশন ৩ টি:

• বুলিয়ান যোগের ক্রিয়া (Logical OR Operation)
• বুলিয়ান গুনের ক্রিয়া (Logical AND Operation)
• বুলিয়ান পূরকের ক্রিয়া (Logical NOT Operation)

বুলিয়ান OR অপারেশন: বুলিয়ান যোগের ক্ষেত্রে নিয়মগুলো হচ্ছে:-

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1

ইনপুটে একটি ১ থাকলেই আউটপুট ১ হবে।

বুলিয়ান AND অপারেশন: বুলিয়ান গুণের ক্ষেত্রে নিয়মগুলো হচ্ছে:-

• 0 . 0 = 0
• 0 . 1 = 0
• 1 . 0 = 0
• 1 . 1 = 1

ইনপুটে একটি ০ থাকলেই আউটপুট ০ হবে।

বুলিয়ান NOT অপারেশন: বুলিয়ান গুণের ক্ষেত্রে নিয়মগুলো হচ্ছে:-

• 0 = 1
• 1 = 0

NOT অপারেশনে ইনপুট এ ০ থাকলে আউটপুট ১ এবং ইনপুট এ ১ থাকলে আউটপুট এ ০ হবে। অর্থাৎ, ইনপুট আউটপুটের বিপরীত।

চলক ও ধ্রুবক

বুলিয়ান বীজগনিতে একটি রাশির মান ০ কিংবা ১ হতে পারে।

• যে রাশির নির্দিষ্ট মান আছে সেটি ধ্রবক। যেমন: বুলিয়ান বীজগনিতে ধ্রুবক হচ্ছে: ০ এবং ১
• যে রাশির নির্দিষ্ট মান নেই সেট চলক। যেমন: A, B, C, X, Y, Z ইত্যাদি।

দ্বৈত নীতি

বুলিয়ান বীজগনিতে OR এবং AND অপারেশনের সম্পর্কযুক্ত নীতি-ই হচ্ছে দ্বৈত নীতি। দ্বৈত নীতিতে 0, 1 এবং OR, AND এর মধ্যে বিনিময় (Interchange) করা হয়।

• সঠিক : 0 + 1 = 1 → 1 . 0 = 0
• ভুল : 0 + 1 = 0 → 1 . 0 = 1

ভুল রাশির উপর দ্বৈত নীতি প্রয়োগ করলে ফলাফল ও ভুল হবে।

বুলিয়ান উপাপাদ্য

বুলিয়ান বীজগনিতে OR এবং AND অপারেশনের সম্পর্কযুক্ত নীতি-ই হচ্ছে দ্বৈত নীতি। দ্বৈত নীতিতে 0, 1 এবং OR, AND এর মধ্যে বিনিময় (Interchange) করা হয়।

মৌলিক উপাপাদ্য
Boolean OR	Boolean AND
A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1	A . 0 = 0 A . 1 = A A . A = A A . A = 0

বিনিময় উপাপাদ্য
A + B = B + A	A . B = B . A

ডি মরগ্যানের উপাপাদ্য
A + B = A . B	A . B = A + B

সহায়ক উপাপাদ্য
A = A	A + AB = A

বিভাজন উপাপাদ্য
A + AB = A + B A (B+C) = A.B + A.C A + BC = (A+B)(A+C) AB + BC + BC = A.B+C

নমুনা প্রশ্ন

প্রশ্ন: সাধারণ ও বুলিয়ান বীজগনিতের মধ্যে পার্থক্য লিখ।

উত্তর: সাধারণ বীজগনিত ও বুলিয়ান বীজগনিতের পার্থক্য:

সাধারণ বীজগনিত	বুলিয়ান বীজগনিত
সাধারণ বীজগনিতে অঙ্ক ১০ টি	বুলিয়ান বীজগনিতে অঙ্ক মাত্র ২ টি
সাধারণ বীজগনিতে অপারেটর অসংখ্য	বুলিয়ান বীজগনিতে অপারেটর ৩ টি
সাধারণ বীজগনিতে ভগ্নাংশ, ত্রিকোনোমিতি, পরিমিতি আছে	বুলিয়ান বীজগনিতে ভগ্নাংশ, ত্রিকোনোমিতি,পরিমিতি নেই
সাধারণ বীজগনিত তুলনামূলকভাবে কঠিন	বুলিয়ান বীজগনিত তুলনামূলকভাবে সহজ

প্রশ্ন: ১+১ = ১০ এবং ১+১=১ ব্যাখা কর।

উত্তর: বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে ১+১ =১০ হয় এবং বুলিয়ান বীজগনিতের ক্ষেত্রে ১+১=১ হয়। বুলিয়ান বীজগনিতে + (যোগ) চিহ্ন দ্বারা সাধারণ যোগ বোঝায় না। বরং, বুলিয়ান বীজগনিতে (+) চিহ্ন দ্বারা বুলিয়ান অর অপারেশন বোঝায়। বুলিয়ান অর অপারেশনে ১+১=১ হয়।

বুলিয়ান ফাংশনের মানগুলোকে সারণির মাধ্যমে প্রকার করার পদ্ধতিই হচ্ছে সত্যক সারণি। অন্যভাবে বলা যায়, যে সারণির মাধ্যমে বুলিয়ান বীজগনিতের বিভিন্ন ইনপুটের মানগুলোর সম্ভাব্য আউটপুট মান দেখানো যায় তাকে সত্যক সারণি বলে।

কোন সত্যক সারণিতে সারির সংখ্যা n সংখ্যক চলক হলে সারি হবে 2ⁿ সংখ্যক। যেমন: একটি সত্যক সারণির চলকের সংখ্যা ৩ হলে সারির সংখ্যা হবে ২^৩ = ৮ টি।

বুলিয়ান বীজগনিতের ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য যে সার্কিট ব্যবহার করা হয় তাকে লজিক গেইট বলে। লজিক গেইটে এক বা একাধিক ইনপুট থাকে এবং একটি মাত্র আউটপুট থাকে। অন্যভাবে বলা যায়, লজিক গেইট এমন একটি সার্কিট যা এক বা একাধিক ইনপুট গ্রহণ করে এবং যুক্তির ভিত্তিতে একটি আউটপুট প্রদান করে। লজিক গেইট ২ প্রকার: -

১। মৌলিক গেইট: যে গেইট অন্য গেইটের সাহায্য ছাড়াই তৈরি করা যায় তাকে মৌলিক গেইট বলে। মৌলিক গেইট ৩ টি:- OR Gate, AND Gate, NOT Gate.

২। যৌগিক গেইট: যে গেইট একাধিক মৌলিক গেইটের সমন্বয়ে তৈরি করা যায় তাকে যৌগিক গেইট বলে। যৌগিক গেইট ৪ টি:- NOR Gate, NAND Gate, XOR Gate, XNOR Gate.

OR Gate

বুলিয়ান যোগের কাজ করার জন্য যে সার্কিট ব্যবহার করা হয় তাকে OR গেইট বলে।

সত্যক সারণি: OR গেইটের ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ইনপুট এর মান ১ হলে আউটপুট ১ হবে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র সবগুলো ইনপুট ০ হলে আউটপুট ০ হবে।

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

OR গেইটের ইলেক্ট্রনিক্স সার্কিট: এই সার্কিটের ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ইনপুট এর মান ১ হলে আউটপুট ১ হবে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র সবগুলো ইনপুট ০ হলে আউটপুট ০ হবে।

AND Gate

বুলিয়ান গুনের কাজ করার জন্য যে সার্কিট ব্যবহার করা হয় তাকে AND গেইট বলে।

সত্যক সারণি: AND গেইটের ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ইনপুট এর মান ০ হলে আউটপুট ০ হবে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র সবগুলো ইনপুট ১ হলে আউটপুট ১ হবে।

A	B	A . B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

AND গেইটের ইলেক্ট্রনিক্স সার্কিট: এই সার্কিটের ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ইনপুট এর মান ০ হলে আউটপুট ০ হবে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র সবগুলো ইনপুট ১ হলে আউটপুট ১ হবে।

NOT Gate

NOT গেইটে একটি ইনপুট এবং একটি আউটপুট থাকে এবং NOT গেইটের আউটপুট ইনপুটের বিপরীত। NOT গেইটকে Inverter Gate ও বলা হয়।

সত্যক সারণি:

A	A
0	1
1	0

বাফার গেইট: যে গেইটে যা ইনপুট দেওয়া হয় তা-ই আউটপুট পাওয়া যায় তাকে বাফার গেইট বলে।

NOR Gate

NOR গেইট OR গেইটের বিপরীত। OR গেইট যা আউটপুট দেয় NOR গেইট তার বিপরীত আউটপুট দেয়। OR গেইটের আউটপুটের সাথে একটি NOT গেইট যুক্ত করলে NOR গেইট পাওয়া যায়।

NOR গেইটকে এভাবেও অংকন করা যায়:-

সত্যক সারণি:

A	B	A + B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

NAND Gate

NAND গেইট AND গেইটের বিপরীত। AND গেইট যা আউটপুট দেয় NAND গেইট তার বিপরীত আউটপুট দেয়। AND গেইটের আউটপুটের সাথে একটি NOT গেইট যুক্ত করলে NOR গেইট পাওয়া যায়।

NAND গেইটকে এভাবেও অংকন করা যায়:-

সত্যক সারণি:

A	B	A + B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

XOR Gate

Exclusive OR গেইটকে সংক্ষেপে XOR গেইট বলে। এটি একটি বিশেষ ধরনের গেইট।

সত্যক সারণি: XOR এর গেইটের ক্ষেত্রে বিজোড় সংখ্যক ইনপুট ১ হলে ফলাফল ১ হবে।

A	B	A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

XNOR Gate

XNOR গেইট XOR গেইটের বিপরীত। XOR গেইট যা আউটপুট দেয় XNOR গেইট তার বিপরীত আউটপুট দেয়। XOR গেইটের আউটপুটের সাথে একটি NOT গেইট যুক্ত করলে XNOR গেইট পাওয়া যায়।

XNOR গেইটকে এভাবেও অংকন করা যায়:-

সত্যক সারণি: XNOR এর গেইটের ক্ষেত্রে বিজোড় সংখ্যক ইনপুট ১ হলে ফলাফল ০ হবে।

A	B	A ⊕ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

যে গেইট দ্বারা অন্যান্য সকল মৌলিক গেইট বাস্তবায়ন করা যায় তাকে সর্বজনীন গেইট বলে। NOR গেইট ও NAND গেইটকে সর্বজনীন গেইট বলে। কেননা, NOR গেইট ও NAND গেইট দ্বারা অন্যান্য সকল মৌলিক গেইট বাস্তবায়ন করা যায়।

NOR গেইট একটি সর্বজনীন গেইট বিশ্লেষণ কর:

উত্তর: NOR গেইটকে সর্বজনীন গেইট বলে। কেননা, NOR গেইট দ্বারা অন্যান্য সকল মৌলিক গেইট বাস্তবায়ন করা যায়।

NOR গেইট দ্বারা NOT গেইট বাস্তবায়ন:

NOR গেইট দ্বারা OR গেইট বাস্তবায়ন:

NOR গেইট দ্বারা AND গেইট বাস্তবায়ন:

NOR গেইট দ্বারা যেহেতু NOT, AND এবং OR গেইট বাস্তবায়ন করা যায়, তাই NOR গেইটকে সর্বজনীন গেইট বলা হয়।

NAND গেইট একটি সর্বজনীন গেইট বিশ্লেষণ কর:

উত্তর: NAND গেইটকে সর্বজনীন গেইট বলে। কেননা, NAND গেইট দ্বারা অন্যান্য সকল মৌলিক গেইট বাস্তবায়ন করা যায়।

NAND গেইট দ্বারা NOT গেইট বাস্তবায়ন:

NAND গেইট দ্বারা OR গেইট বাস্তবায়ন:

NAND গেইট দ্বারা AND গেইট বাস্তবায়ন:

NAND গেইট দ্বারা যেহেতু NOT, AND এবং OR গেইট বাস্তবায়ন করা যায়, তাই NAND গেইটকে সর্বজনীন গেইট বলা হয়।

এছাড়াও, NOR এবং NAND গেইট দ্বারা XOR, XNOR গেইট বাস্তবায়নসহ বিভিন্ন সমীকরণ থেকে NOR গেইট ও NAND গেইট দ্বারা বাস্তবায়ন করা জানতে হবে।

এনকোডার হচ্ছে এমন একটি সার্কিট যা মানুষের ভাষাকে কম্পিউটারের ভাষায় রূপান্তর করে।

ডিকোডার হচ্ছে এমন একটি সার্কিট যা কম্পিউটারের ভাষাকে মানুষের ভাষায় রূপান্তর করে।

এনকোডার ও ডিকোডারের মধ্যে পার্থক্য:

এনকোডার	ডিকোডার
এনকোডার মানুষের ভাষাকে কম্পিউটারের ভাষায় রূপান্তর করে।	ডিকোডার কম্পিউটারের ভাষাকে মানুষের ভাষায় রূপান্তর করে।
এনকোডার ইনপুটের সাথে সংযুক্ত থাকে।	ডিকোডার আউটপুট সাথে সংযুক্ত থাকে।
একটি এনকোডার এর ইনপুট 2n হলে আউটপুট হবে n সংখ্যক।	একটি ডিকোডার এর ইনপুট n হলে আউটপুট হবে 2n সংখ্যক।

ষে সার্কিট কম্পিউটারে যোগের কাজ করে তাকে অ্যাডার বলে। অ্যাডার ২ প্রকার: -

১। হাফ অ্যাডার (অর্ধযোগের বর্তণী)
২। ফুল অ্যাডার (পূর্ণযোগের বর্তণী)

হাফ অ্যাডার

যে অ্যাডার দুটি বিট যোগ করে যোগফল ও ক্যারিবিট নির্ণয় করে তাকে হাফ অ্যাডার বলে।

হাফ অ্যাডার এর সত্যক সারণি ও লজিক গেইটঃ

লজিক গেইটঃ

প্রশ্ন: মৌলিক গেইট দ্বারা হাফ অ্যাডারের লজিক গেইট আঁক।
হাফ অ্যাডার মৌলিক গেইটের সমন্বিত গেইট - ব্যাখা কর।

উত্তর: হাফ অ্যাডার সকল মৌলিক গেইটের সমন্বিত গেইট। কারণ, মৌলিক গেইট দ্বারা হাফ অ্যাডার বাস্তবায়ন করার জন্য সকল মৌলিক গেইট অর্থাৎ OR গেইট, AND গেইট এবং NOT গেইটের প্রয়োজন হয়।

ফুল অ্যাডার

যে অ্যাডার দুটি বিট এবং ক্যারিবিট যোগ করে যোগফল ও ক্যারিবিট নির্ণয় করে তাকে ফুল অ্যাডার বলে।

হাফ অ্যাডার দ্বারা ফুল অ্যাডার বাস্তবায়ন

হাফ অ্যাডার থেকে ফুল অ্যাডার বাস্তবায়ন করার জন্য দুইটি হাফ অ্যাডার এবং একটি OR Gate এর প্রয়োজন।

প্রথম হাফ অ্যাডার থেকে পাই,

S1 = A ⊕ B
C1 = AB

দ্বিতীয় হাফ অ্যাডার থেকে পাই,

S2 = S1 ⊕ Ci
C2 = S1 . Ci

ফুল অ্যাডার থেকে আমরা পাই,

S = A ⊕ B ⊕ C
= S1 ⊕ C1
= S2

আবার,

Co = Ci(A ⊕ B) + AB
= CiS1 + C1
= C2 + C1
= C1 + C2

সুতরাং, হাফ অ্যাডার এর সাহায্যে ফুল অ্যাডার বাস্তবায়ন করা সম্ভব ।

প্যারালাল বাইনারি অ্যাডার

যে অ্যাডার বাইনারি বিট যোগ করে তাকে বাইনারি অ্যাডার বলে। বাইনারি অ্যাডার ২ ধরনের:-

• প্যারালাল বাইনারি অ্যাডার
• সিরিয়াল বাইনারি অ্যাডার

প্রশ্ন: বাইনারি অ্যাডারের সাহায্যে 1101 এর সাথে 1100 যোগ কর।

উত্তর: বাইনারি অ্যাডারের সাহায্যে 1101 এবং 1100 যোগ:

সুতরাং, বাইনারি অ্যাডারের সাহায্যে 1101 এবং 1100 যোগফল 11001

পরীক্ষার খাতায় ছক বা লাইন নম্বর লেখা যাবে না। এখানে সরলীকরণ বিশ্লেষনের স্বার্থে লেখা হয়েছে। পরীক্ষার খাতায় শুধু সমাধান অংশটুকু লিখতে হবে।